2.9 Completeness Lemma & Proof

讓b是任何已完成的真植樹上的開放分枝。模態的模型M= < W, R, v >
可從b induce 另一個模型，也就是一個counter-model (也就是 induce model)，而這個模型可以定義一個模態的模型之中的W和其他可能世界存在有像 wiRwj 的關係，若且為若 irj 出現在b上。所以，假使 p,i 出現在b上，那麼模型M就會給p,i的值為真，寫成 v wi(p)=1，若~p,i 出現在b上，則寫成 v wi(p)=0。

預備定理(Lemma)

讓b是一個開放的樹枝，模型M會被induce出來，而且 A,i 出現在b上，那麼模型M就會給A,i的值為真，寫成 v wi(A)=1，若~A,i 出現在b上，則寫成 v wi(A)=0 。(大寫的'A'表是任一句式，也就是像~A或是A&B這樣的句子)

預備定理證明(Proof)

1.如果A出現在b上，而且A是這樣的句子: BVC，而且BVC,i是已經完成的樹枝。
2.根據樹枝法，B,i和C,i都會在b上出現，再根據induce model，這兩句在模型中都為真，寫成
v wi(B)=v wi(C)=1
3.考慮另一個Case, ~(BVC)，其做法也如同1-2
4.現在考慮模態詞的Case，令A= ◇C，而且A,i 出現在b上
5.所以，◇C,i 也會出現在b上
6.irj 出現在b上
7. 根據樹枝法， C, j 出現在b上，
8. W, j ⊨ C，世界i會令C為真
9.WiRWj，世界i和世界j之間存在著關係R
10. W, i ⊨ ◇C，世界i會令C為真
11. W, i ⊨ A 世界i會令A為真


12.考慮另一個模態詞的Case，而A= ◇C
13.現在，~A,i 出現在b上，
14.所以~◇C,i 也會出現在b上
15. W,i  ⊨ ◇C，根據 5
16.根據樹枝法， □~C,i也會出現在b上
17. irj 出現在枝上，
18. WiRwj，世界i和世界j之間存在著關係R
19. W, j ⊨ C，根據8
20. W, j ⊨ ~C,j ，根據樹枝法
21. W, j 不會使 C為真
22.矛盾，根據19,21
23. W,i  不會使 ◇C為真
24. W,i  不會使A為真


完備性證明(Proof)


1. Σ ⊦ A 不成立
2.存在一個counter model, M =< W, R , v >
3.模型裡的一個世界W,i會使得這個開放的樹上的initial list的句子都為真
4. 而且 A,i 出現在b上，那麼模型M就會給A,i的值為真，寫成 v wi(A)=1，若~A,i 出現在b上，則寫成 v wi(A)=0 
5.  v wi(A)=1，根據5
6.  v wi(A)=0，根據5
7. 矛盾
8. Σ ⊨ A 不成立

2.9 Soundness Lemma & Proof

有一個模型M= 是faithful to branch b= df. 存在有一個function,f, f是一個從所有自然數的集合到Wm(世界W的模型m)的函數，而如果A,i 出現在b上，那麼f(i)就會使A為真，而且對任何A,i而言，如果irj是空的滿足又出現在b上，那麼f(i)Rf(j) (f(i)和f(j)有R的關係)，而且是對於任何 i,j而言都成立。

現在，模型M是一個模態的模型，而且b是一真植樹上的branch；如果M是faithful to b，若且為若存在有一個mapping叫做function f，f是一個從自然數集合映射到世界W的函數。所以，對任何在這棵樹上的節點A,i，A,i是出現在b上的，那麼function f 就會使得A為真，寫成f(i) in M。

如果irj在b上，那麼在M之中，f(i)和f(j)有R的關係。

預備定理(Lemma)

讓b是樹上的分枝，而M=< W , R , v>
M是faithful to b，而且這棵樹是已經完成的，那麼我們可以從樹上至少找到一個分枝b'，M也會faithful to b'。

預備定理的證明(Proof)

Case1

1.M會使得分枝b上的A&B,i在f(i)為真，那麼，f(i)就會使A&B為真。

2.假如句子在樹上的是 ~◇A,i，我們可以寫成 □~A,i，所以，M是faithful to b，那麼M就會使 ~◇A在f(i)為真，寫成 ~◇A,i，

3.因此，M也會使 □~A在f(i)為真，寫成 □~A,i。

4.如果 □A,i在b上，而M是faithful to b，□A就是在f(i)為真的。

5.接著，對於任何 i和 j，像irj 這類的關係出現在b上，則 f(i)Rf(j)是成立的，模型M就是faithful to branch b的。

6.最後，◇A,i 是在branch b 上，根據樹枝規則，我們可以獲得一個irj而且A,j出現在枝上，M就會使W和它的可能世界有一個f(i)的函數，並使得A在W的可能世界為真，寫成 ◇A,i以及f(i)Rw。
7.現在有一個f'，將 j帶入，寫成f'(j)，將 i 帶入，寫成f'(i)，在f'(i)和f'(j)之間存在一個關係R，寫成 f'(i)Rf'(j)，而M也會是faithful to branch b，所以也是faithful to 這個 extended的 branch的，也就是faithful to f'(i)Rf'(j)的。


健全性證明(Proof)
1. Σ ⊨ A 不成立
2.存在有一個模型裡的一個世界，這個世界會使得  Σ U {~A}
3. M是faithful to這個branch b的，
4. 如果M是faithful to branch b，那麼M就會faithful to 延伸的branch b1，以及延伸的branch b2，以及延伸的任何branch bi。
5.讓一棵樹T是任何完成的樹，我們可以從這個樹上找到一枝branch bk，而且bk是開放的枝子
6.所以，任何完成的樹會出現Σ U {~A}，而且M是faithful to Σ U {~A}的
7.這是一棵開放的樹T
8. Σ ⊦ A 不成立




note: 如果bk是封閉的，那麼A,i在這枝branch上也會出現~A,i，那麼f(i)就是 ⊨ A 而且f(i)會使得⊨~A成立，這是矛盾的。

Give my self a reason

Last year I made a decision to continue my philosophy training, maybe my real thought is that I don't want to admit myself as a loser.

Actually, on another side, I won't ever be a winner.

The answer to “why should we study logic” might be that we want to become the individual thinker for ourselves. An individual thinker is that who can find the core of problem and bravely express her comment.

The last thing I think is that, protecting something what you really love is to be the one understand it very well.

Validity of argument

A concept of validity of an argument must be differentiated from a concept of a valid argument. Let me give you an example:

(I)

My sister will cook or my mom will cook.

My mom will not cook.

______________________________________________

My sister will cook.

We usually represent (I) like this:

(I')

A or B

Not A

-----------------

B

(I') is so-called argument schema or a valid argument schema, and (I) is called an argument. When we write an argument within considerable sentences,we usually also picture an actual argument as (I). Definitively (I) and (I') are valid arguments, but move on next example:

(I'')

A if B

Not B

-----------------

A

Not merely (I'') cannot be a valid argument, but also not be a valid argument schema.

Different argument schemata have different conjunctions. The conjunction in (I') is or, and in (I'') is if. In logic class, we learn how to deal those conjunctions with logical principles, and this is an aspect of syntactic construction aiming to persist the validity.

An argument schema can be represented from various expressions, as we point out, the meaning of expression plays an essential role in validity of an argument. So logicians concern both the argument schemata and the validity of an argument. If the conjunction or, for example, plays a part of validity of an argument then we are also investigating its meaning.

However, the validity of an argument will not be changed if we replace the argument to another expression. When we are talking about the validity of an arguments, we are talking about the argument schemata, valid arguments, and meaning of conjunctions. These three parts of logic can be separately discussed later on.

Valid argument

Before we enter the logical world, the first work is to understand the basic concept of logic. The first and the most considerable conception is valid argument, and the second basic one is the inference.

Let me start with the inference then we will come back to valid argument. What is an inference? An inference is formed from some presuppositions and a conclusion. For example,

(1)

Every man will die.

John is a man.

--------------------------

John will die.

(1) is a classical instance of inference. "Every man will die." and "John is a man." are our presuppositions in (1), and "John will die." is our conclusion. Furthermore, if we need a more complex argument than (1), we must build up an argument chain, which is composed of more than one inference, and in other words, building up two arguments will required more presuppositions and result in two or more conclusions. As (2),

(2)

Every human will die.

John is a human.

---------------------------

John will die.

John's wife is a human.

Martina is John's wife.

---------------------------

Martina will die.

.

.

.

and so on.

In this manner we had roughly explained the inference, and it is time to concern valid argument, which is an argument comprises some true presuppositions and a necessarily true conclusion. However, true presuppositions would not guarantee a valid argument definitely valid, and the true presuppositions are not absolutely effective to build up a valid argument. That is to say ,we say the validity of an argument does not mean the truth of an argument. Therefore, valid argument does not mean the presuppositions must be true.

The end, valid argument is very useful to philosophy. It is pertinent to say that philosophers are good at using valid argument and it has become a widely fact.

古典邏輯當中的好推論

在命題邏輯當中，一個好的推論的意思是，如果前提和結論步分享任何變數，它不是一個好推論。因此，一個好推論指的是前提蘊含結論，也就是前提和結論分享了相同的變數，因此，我們可以由P⊃Q得到

P

______

Q

現在，證明在古典邏輯當中，有一個模型可以推出A⊃B。

首先，

1.存在有一個古典邏輯的模型，語意上蘊含A而且語意上蘊含B。

2.接著，假設1為假。

3.因此，不存在有一個模型語意上蘊含A⊃B。根據2。

4.存在有一個模型語意上蘊含A。根據1,3。

5.存在有一個模型不是語意上蘊含B。根據3。

6.存在有一個古典邏輯的模型，語意上蘊含A而且語意上蘊含B。根據1。

7.因此，存在有一個模型語意上蘊含B。根據4,6。

8.得出矛盾。根據5,7。

9.因此假設不成立。

10.存在有一個古典邏輯的模型，語意上蘊含A而且語意上蘊含B。根據1-8，歸謬證法。

11.存在有一個古典邏輯的模型語意上蘊含A⊃B。

12.接著，假設1為假。

13.因此，不存在有一個模型語意上蘊含A而且語意上蘊含B。根據12。

14.得出矛盾。根據10,13。

15.因此假設不成立。

16.存在有一個古典邏輯的模型語意上蘊含A⊃B。根據12-14，歸謬證法。

現在可以知道，在古典邏輯當中，一個好的推論是:我們可以從前提中推出結論，若且唯若存在有一個模型語意上蘊含錢題可以推出結論。

(A⊨B iff ⊨A⊃B)

完備性與妥當性

在這裡簡述一下這兩個概念 : 完備性(completeness)和妥當性(soundness)。

不過，這兩個概念必須被證明出來，才算是完成了這兩個概念的擁有者所該完成的工作。未

來我在補上證明的部分。

(1)

設 G 是由命題邏輯語言LP的句式(formulas)所形成的集合，y 則為命題邏輯語言LP的句式，完備性(completeness)的意思是：如果 G 語意上蘊涵 y，則 G 語法上蘊涵 y (If G ⊨ y, then G ⊢ y.)。

(2)

設 G 是由命題邏輯語言LP的句式(formulas)所形成的集合，y 則為命題邏輯語言LP的句式，妥當性(soundness)的意思是：如果 G 語法上蘊涵 y，則 G 語意上蘊涵 y (If G⊢y, then G⊨y)。

The Notion of "Formal Techniques" and "Computation"

"操作記號"和"計算"的根本概念是在數學的成果上獲得而來。首先，在十九世紀末二十世紀初，數學對於幾何的探討，以及研究歐氏幾何的第五公設(平行公設：通過直線外的一點，且與此直線平行的直線，只有一條) 這類的成果，促成一些"形式化語言"的研究與發現過程。

在當時，企圖證明第五公設一直是許多數學家的工作，不過，我們關心的主題在於他們研究那些清晰而不證自明的公理，還有那些加上去的推論規則，所帶來的成果。Frege、Hilbert、Peano、Gauss，試著尋找既不違反數學上的理由，又和我們自然的語意直覺相容的推論與形式化策略。

簡單而言，我們的自然語言的語意關係，在直覺上有些特殊的地方，但無論如何，重要的是它們必須能夠被形式化，成為像幾何學的公理，加上推論規則，以便我們的自然語言也能夠在相當的語法規則下保存它們自己的表達式。希爾伯特的成果在幾何的研究，羅素與懷海德則是在算述規則上；直到最終他們都是相當成功的，就像心理學的邏輯行為主義；不過，哥德爾不完備定理則是在最後畫下句點。

另外一個重要的是，數學家們清楚地區別出：有一些方程式是"可計算的"(computable)，這些方程式可以藉由我們設計它的運作來成為(being)可被決定和賦值的結果(例如 2x+1=y ，給出x 或y 就可得出其他值的結果)。

換言之，並不是所有方程式都是可被計算的。Alan Turing ，圖林設計了一個 "算機" (computing machine)，這臺算機可以做出2x+1=y 這類的工作，圖林他設想，一堆可計算的方程式等值(equivalent)於另一堆賦值的方程式，藉由一些有限的步驟，我們可以設計出這類算機。重要的是，任何輸入(operations)必須在語法上是可以機械地複製的。這個工作必須仰賴先前數學家們研究公理與推論規則，加上語意與與法的研究成果。

形式化和計算，這兩件工作因而變得相關性高：形式化的語言可以規則地由數學的方式，機械地複製。圖林認為，算機總有一天能夠像人類一樣，做出人類也能做的工作-至少在"複製"這件事情，當今的電腦真的做得很好了。當然，反對這類想法的人會認為，算機做出來的不過就是"複製"了一些東西罷了，他只是再製人們的東西而已。

truth-functionality

二值的真值表所建立的有效性仰賴二值原則，然而有效性是指任何形式，它都是有效論證。無效論證則是該論證滿足前提為真但結論為假的型式。但二值原則有什麼疑問嗎?

假如一個二值語句所形成的集合，要由包含二個累以上所形成的語句集合所取代，很顯然我們會尋找替代的集合，藉由二值以上的真值表來發展它。過去的二值語句所形成的複雜句會變得不一樣。它包含過去的基本邏輯運算子，並且會發展新的有效性測試方法，這便是多值邏輯的基本概念：generalized truth-functionality。

過去的二值真值表雖然沒有二值以上的意思，不過卻隱含有二值以上的真值表。例如conjunction的句子包含了至少一個假整句皆為假，但是對多值邏輯來說卻不然。這顯示了，二值邏輯的不完整性大過於它可能是錯的這件事。(嗯...暫時同意。) 如果二值能夠再被細分為新的類，新的真值表很可能包含了正確的而全面的真值運算子(真值函數)。

所謂generalization指的是真值函數的概念可能地generalize我們的truth-functionality。(對不起好像有點不知道在說什麼 orz)

總而言之，語句的集合並沒有保證它的連接詞可以化入自然語言中，邏輯的語句只保證它在集合中的連接詞的定義。例如，「既不真也不假」可以代替單純的指「真」和「假」。將它帶入「如果P那麼Q」的條件句當中是可行的；如果前件真，後件真則整句為真：(A)『「如果n顆穀粒是一堆」那麼「n+1顆穀粒是一堆」』，是既不真也不假的，那麼(B)『假設「如果n+1顆穀粒是一堆」那麼「n顆穀粒是一堆」』也是真的，這件事情會違反我們的直覺。這顯示了(A)為直覺上可接受而(B)是違反直覺的；當然，generalize我們的truth-functionality，或者說，(B)是否可以接受為真是邏輯哲學上的一些爭論。

‧‧‧

Vagueness(III-I)

2.1 Sorites paradoxes: preliminaries

(1)所謂’the paradox of the heap’,指的是承襲古希臘已經出現過的悖論形式,’heap’,也就是’soros’,演變成’sorites’,指的是這類形式的悖論。中譯為「堆垛悖論」。

(2)這類悖論的重點多在於它的vague words,例如「高的」、「一堆」、「紅色」。這類字會形成所謂的borderline case,這類字用在描述對象上並非有很清楚的界線來區別是否恰當,例如「高的」和「不是高的」,「一堆」和「不是一堆」。這無法區分清楚的事件叫做borderline case。

(3)即便我們把句子中的這類字替換掉,我們也不見得取消了borderline case,試想以下論證:

(1)在擁有某些條件、有些對象之下,我們能區分和運用「紅色」這個字。

(2)在擁有某些對象之下,我們不能區分和運用「紅色」。

(4)這個論證顯示了我們在表達上的sharp boundaries,也就是那些對象很接近紅色卻不是完全的紅色時,我們無法清楚表達它是不是「紅色」的界線。

2.2 Sorites paradoxes: the options

Sorites paradox的推論想法稱為tolerant,指的是小小的改變,並不會影響字的運用。而paradox的推論為:

(1)10,000顆穀粒是一堆,

(2)如果10,000顆穀粒是一堆,9,999顆穀粒也是一堆,

(3)如果9,999顆穀粒是一堆,9,998顆穀粒也是一堆,

…

(10,000)如果2顆穀粒是一堆,1顆穀粒也是一堆,

所以,1顆穀粒是一堆。

根據上述的推論,第一項前提稱為Categorical premise,其餘都稱為Conditional premise,而conditional premise的形式都是”if…,then…”。依此可以寫出:

它的General form寫成:

(1)10,000顆穀粒是一堆,

(2)如果n顆穀粒是一堆,那麼n-1顆穀粒也是一堆,

所以,1顆穀粒是一堆。

由小的數到大的數的paradox推論:

(1)1顆穀粒不是一堆,

(2)如果1顆穀粒不是一堆,2顆穀粒也不是一堆,

(3)如果2顆穀粒不是一堆,3顆穀粒也不是一堆

…

(10,000)如果9,999顆穀粒不是一堆,10,000顆穀粒也不是一堆,

所以,10,000顆穀粒不是一堆。

它的General Form寫成:

(1)1顆穀粒不是一堆,2顆穀粒也不是一堆,

(2)如果n顆穀粒不是一堆,n+1顆穀粒也不是一堆,

所以,1顆穀粒不是一堆。

這個推論明顯是根據tolerance principle寫成的: 不同的堆垛並不能夠區別「是一堆」以及「不是一堆」。我們根據”if p ,then q”推導出q,而這個推論的principle有一個拉丁名稱: modus ponens,而且我們最後得到的結論相當違反我們的直覺。

面對這一類悖論的可能解決方式有以下三種:

(a) Accept the conclusion of the argument,

(b) Reject the reasoning as faulty,

(c) Reject one or more premises,

而(a)顯然是我們都會同意不需要改變的,因此我們便不予考慮這條進路。

>>>這是修改過的版本。