The Notion of "Formal Techniques" and "Computation"

"操作記號"和"計算"的根本概念是在數學的成果上獲得而來。首先，在十九世紀末二十世紀初，數學對於幾何的探討，以及研究歐氏幾何的第五公設(平行公設：通過直線外的一點，且與此直線平行的直線，只有一條) 這類的成果，促成一些"形式化語言"的研究與發現過程。

在當時，企圖證明第五公設一直是許多數學家的工作，不過，我們關心的主題在於他們研究那些清晰而不證自明的公理，還有那些加上去的推論規則，所帶來的成果。Frege、Hilbert、Peano、Gauss，試著尋找既不違反數學上的理由，又和我們自然的語意直覺相容的推論與形式化策略。

簡單而言，我們的自然語言的語意關係，在直覺上有些特殊的地方，但無論如何，重要的是它們必須能夠被形式化，成為像幾何學的公理，加上推論規則，以便我們的自然語言也能夠在相當的語法規則下保存它們自己的表達式。希爾伯特的成果在幾何的研究，羅素與懷海德則是在算述規則上；直到最終他們都是相當成功的，就像心理學的邏輯行為主義；不過，哥德爾不完備定理則是在最後畫下句點。

另外一個重要的是，數學家們清楚地區別出：有一些方程式是"可計算的"(computable)，這些方程式可以藉由我們設計它的運作來成為(being)可被決定和賦值的結果(例如 2x+1=y ，給出x 或y 就可得出其他值的結果)。

換言之，並不是所有方程式都是可被計算的。Alan Turing ，圖林設計了一個 "算機" (computing machine)，這臺算機可以做出2x+1=y 這類的工作，圖林他設想，一堆可計算的方程式等值(equivalent)於另一堆賦值的方程式，藉由一些有限的步驟，我們可以設計出這類算機。重要的是，任何輸入(operations)必須在語法上是可以機械地複製的。這個工作必須仰賴先前數學家們研究公理與推論規則，加上語意與與法的研究成果。

形式化和計算，這兩件工作因而變得相關性高：形式化的語言可以規則地由數學的方式，機械地複製。圖林認為，算機總有一天能夠像人類一樣，做出人類也能做的工作-至少在"複製"這件事情，當今的電腦真的做得很好了。當然，反對這類想法的人會認為，算機做出來的不過就是"複製"了一些東西罷了，他只是再製人們的東西而已。