2.9 Completeness Lemma & Proof

讓b是任何已完成的真植樹上的開放分枝。模態的模型M= < W, R, v >
可從b induce 另一個模型，也就是一個counter-model (也就是 induce model)，而這個模型可以定義一個模態的模型之中的W和其他可能世界存在有像 wiRwj 的關係，若且為若 irj 出現在b上。所以，假使 p,i 出現在b上，那麼模型M就會給p,i的值為真，寫成 v wi(p)=1，若~p,i 出現在b上，則寫成 v wi(p)=0。

預備定理(Lemma)

讓b是一個開放的樹枝，模型M會被induce出來，而且 A,i 出現在b上，那麼模型M就會給A,i的值為真，寫成 v wi(A)=1，若~A,i 出現在b上，則寫成 v wi(A)=0 。(大寫的'A'表是任一句式，也就是像~A或是A&B這樣的句子)

預備定理證明(Proof)

1.如果A出現在b上，而且A是這樣的句子: BVC，而且BVC,i是已經完成的樹枝。
2.根據樹枝法，B,i和C,i都會在b上出現，再根據induce model，這兩句在模型中都為真，寫成
v wi(B)=v wi(C)=1
3.考慮另一個Case, ~(BVC)，其做法也如同1-2
4.現在考慮模態詞的Case，令A= ◇C，而且A,i 出現在b上
5.所以，◇C,i 也會出現在b上
6.irj 出現在b上
7. 根據樹枝法， C, j 出現在b上，
8. W, j ⊨ C，世界i會令C為真
9.WiRWj，世界i和世界j之間存在著關係R
10. W, i ⊨ ◇C，世界i會令C為真
11. W, i ⊨ A 世界i會令A為真


12.考慮另一個模態詞的Case，而A= ◇C
13.現在，~A,i 出現在b上，
14.所以~◇C,i 也會出現在b上
15. W,i  ⊨ ◇C，根據 5
16.根據樹枝法， □~C,i也會出現在b上
17. irj 出現在枝上，
18. WiRwj，世界i和世界j之間存在著關係R
19. W, j ⊨ C，根據8
20. W, j ⊨ ~C,j ，根據樹枝法
21. W, j 不會使 C為真
22.矛盾，根據19,21
23. W,i  不會使 ◇C為真
24. W,i  不會使A為真


完備性證明(Proof)


1. Σ ⊦ A 不成立
2.存在一個counter model, M =< W, R , v >
3.模型裡的一個世界W,i會使得這個開放的樹上的initial list的句子都為真
4. 而且 A,i 出現在b上，那麼模型M就會給A,i的值為真，寫成 v wi(A)=1，若~A,i 出現在b上，則寫成 v wi(A)=0 
5.  v wi(A)=1，根據5
6.  v wi(A)=0，根據5
7. 矛盾
8. Σ ⊨ A 不成立