可能世界v.s.有限的無限世界

Proposition 5.8

Every real number r∊ℝ has a unique proper decimal expansion, i.e. r=a_0.a₁a₂a₃…

Now, we can prove ω≉ℝ.

命題5.8

所有的實數都屬於有理數集,它們有展開為小數的特性,例如實數r= a_0.a₁a₂a₃…

現在我們要證明,有限的無限集合ω與有理數集不一樣大。

Theorm 5.9  ω≉ℝ

Proof

(1)

We have to show that there is no bijection from ω onto ℝ. Suppose, to the contrary, that there is a function, say f such that f : ω≈ ℝ. Clearly, f (ω)=ℝ. Now, by Propsition 5.8-every real number has a unique proper decimal expansion, each f (n)∊ℝ can be rewritten as a proper decimal expansion of some r∊ℝ , e.g.

f(0)=a₀⁽⁰⁾ .a₁⁽⁰⁾a₂⁽⁰⁾a₃⁽⁰⁾ . . .

f(1)=a₀⁽¹⁾ .a₁⁽¹⁾a₂⁽¹⁾a₃⁽¹⁾. . .

f(2)=a₀⁽²⁾.a₁⁽²⁾a₂⁽²⁾a₃⁽²⁾ . . .

 …………………………………………………..

f(n)=a₀⁽ⁿ⁾ .a₁⁽ⁿ⁾a₂⁽ⁿ⁾a₃⁽ⁿ⁾. . .

…………………………………………………..

Now, we take an arbitrary number b₀∊Z such that b₀ ≠a₀⁽⁰⁾ and any umber b_k∊ω such that

 a_k^(k) ≠ b_k <9,k=1,2,3,...

That is to say,

 a₁⁽¹⁾≠b₁<9

 a₂⁽²⁾≠b₂<9

 a₃⁽³⁾≠b₃<9

. . . . . . . . . . . . . . . .

 and so on.

(1)

首先, 我們不會找到任一個雙函映函數使得ω可對應到實數集。若假設我們可以找到的話,那就存在有一個函數f: ω≈ ℝ 。當然地這個函數代入ω可以得到ℝ。根據命題5.8, 所有實數都可以展開成小數序列,也就是任一n帶入f 會∊ℝ, 寫成:

f(0)=a₀⁽⁰⁾ .a₁⁽⁰⁾a₂⁽⁰⁾a₃⁽⁰⁾ . . .

f(1)=a₀⁽¹⁾ .a₁⁽¹⁾a₂⁽¹⁾a₃⁽¹⁾. . .

f(2)=a₀⁽²⁾.a₁⁽²⁾a₂⁽²⁾a₃⁽²⁾ . . .

 …………………………………………………..

f(n)=a₀⁽ⁿ⁾ .a₁⁽ⁿ⁾a₂⁽ⁿ⁾a₃⁽ⁿ⁾. . .

…………………………………………………..

如此下去。

現在,我們給一個變數b₀是整數集的一員,而且b₀不等於a₀⁽⁰⁾, 而且任意的b_k會是有限的無限集合的一員, 而且a_k^(k)不等於b_k , 無論a_k^(k) 或是b_k 都小於9, 而k=1,2,3,…

換言之,寫成:

a₁⁽¹⁾≠b₁<9

 a₂⁽²⁾≠b₂<9

 a₃⁽³⁾≠b₃<9

. . . . . . . . . . . . . . . .

以及其他,以此類推。

(2)

Now, let x =∑ _(n=0)^∞ b^n/( 〖10〗^n )

Then, x=b₀.b₁b₂b₃ . . . is a decimal expansion of x.

Moreover, this is a proper expansion in accordance with our choice of the numeral b_k . Hence, r∊ℝ. By the assumption, there must be an n∊ω such that

  f(n)=x=b₀.b₁b₃b_{3. . .}

But, according to our description of the value of function f ,

  f(n)=f(n)=a₀.a₁a₂a₃ . . .

Now, it is clear that the two aforementioned decimal expansions are proper expansions of the same real number, i.e. f(n)=x. By Proposition 5.8, b₀.b₁b₂b₃ . . . will be equal to a₀⁽ⁿ⁾.a₁⁽ⁿ⁾a₂⁽ⁿ⁾a₃⁽ⁿ⁾. . ., which implies that

 b₀=a₀⁽ⁿ⁾,b₁=a₁⁽ⁿ⁾,b₂=a₂⁽ⁿ⁾, . . ., b_n=a_n⁽ⁿ⁾ . . .

But this contradicts our stipulation that a_k^(k)≠b_k<9 k="">f which is a bijection, that is, ω≉ℝ.

(2)

現在假設x=∑ _(n=0)^∞ b^n/( 〖10〗^n )

那麼x就是一個在x當中的展開小數序,而這些展開的小數是由我們所選的b_k ,而由於小數都屬於有理數集,根據假設,任意的n代入f 會是有限的無限集合ω中的一員, 寫成:

f(n)=x=b₀.b₁b₃b_{3. . .}

但根據我們之前描述過函數f, 應該是:

f(n)=f(n)=a₀.a₁a₂a₃ . . .

很顯然的,這兩個展開小數序就是f(n)=x。根據命題5.8, b₁b₂b₃ . . .會和a₀⁽ⁿ⁾.a₁⁽ⁿ⁾a₂⁽ⁿ⁾a₃⁽ⁿ⁾. .相等,也就是:

b₀=a₀⁽ⁿ⁾,b₁=a₁⁽ⁿ⁾,b₂=a₂⁽ⁿ⁾, . . ., b_n=a_n⁽ⁿ⁾ . .

但是這與我們之前所說的(a_k^(k)不等於b_k , 無論a_k^(k) 或是b_k 都小於9, 而k=1,2,3,…)產生矛盾,

所以就證明了, 我們不會找到任一個雙函映函數使得ω可對應到實數集, ω≉ℝ。

(這個證明告訴我們,有限的無限集合不等於有理數集合。)

沒錯,我們運用這個概念可以知道, 無論如何我們都可以找到一個數是在自然數集合之外的,因為自然數集是一個有限的無限集合。一旦我們得到證明這件事, 我們不難理解這個世界之外還存在有許多可能世界, 這個世界和那個世界的一切都一樣, 只是某些東西不一樣。

碎念：我知道這篇不是很friendly, 而且毫無普遍意義, 但是擁有一個信念然後去證明它確實是一個哲學工作！

資料來源: Elementary set theory,Chin Mu-Yang, Department of Philosophy of NTU, 1999