First Degree Entailment (1)

對F.D.E. 而言, formulas和truth value的interpretations是它們之間的relation。雖然, 學過基本邏輯的都理解得到, 我們一般上都將formulas和truth value的關係理解為function(函數)。用函數來理解的方式很簡單, 只要根據每一個truth function的tableaux, 將formuals一個一個寫出來, 我們就可以得到formula(s)的interpretation了。

在F.D.E.則不僅只如此, 我僅介紹將F.D.E.看成模態邏輯(model logic)的基本想法。

(注意: 我是初學者, 如有更多問題請向"專家"請益。)

第一個重要概念: oreder pair(有序序列)。

order pair是二個東西所形成的有序(order)序列, 例如<1,2>是一個order pair。當然, 我們有由三個東西組成的有序序列, 稱為triple order, 例如<1,0,2>。現在, 假設有一個set(集合)A, A包含二個order pair, 寫成 A={ <1,2> , <2,1> }。另外一個集合B也包含兩個order pair, 寫成

B={ <1,1>,<1,0>}。

第二個重要概念: cartesian product (笛卡兒乘積)。

當A和相乘所得到的乘積, 也會是一個由order pair所形成的集合, 寫成AxB={ <1,1> , <2,1> , <2,0> , <1,0> }。

第三個重要概念: subset(子集合)。

X是Y的subset, 寫成: X ⊆ Y。而我們知道, 空集合, ø 會是所有任意集合的子集合。現在, 舉例而言, N是所有自然數的集合, E是所有偶數的集合, 那麼我們便可知道, 空集合是N的子集合: ø⊆N。而且偶數集會是自然數集合的子集合: E⊆N。

第四個重要概念: power set (密集合)。

p是一個密集合,寫成p(A)={B|B⊆A}={空集合, {a}, {b}, {a,b}}, 意思是指, A集合的子集是B, 而B的所有子集(包括空集合的四個element)就是A的組成。

第五個重要概念:relation(關係)。

R is a realtio between A and B = df R⊆ AxB。換言之, 關係的意思指的是由集合A和集合B組成的笛卡兒乘積, 精確的說, 關係是由 order pair 和其他order pair 組成的。如果有一個關係R2是由只一個order paair 組成, 寫成 R2={}。

利用(1)-(5)對模型(model)的定義。

存在有一個模型M的意思是M是密集合p和{1,0}的笛卡兒乘積的子集合。

M is a model=df M ⊆ px{1,0}, 

p的意思是:

{| x ∊ p, y∊{1,0}},x是所有簡單句(atomci sentence), y是被賦予的值, 所以我們有眾多的句子在這個集合當中: 

{< p 1 , 1 > , < p 2 , 1> ,...}

在簡單句當中, "ρ1"表示真,"ρ0"表示假,p3ρ0表示p3為假,反之亦然。

在複雜句(molecular sentence)當中則表示為:

If M is a model , then

_{¬AM1 iff AM0 (數字1和0, 不是字母)}

¬AM0 iff AM1

A∧BM1 iff AM1&BM0

A∧BM0 iff AM0 or BM0

A∨BM1 iff AM1 or BM1

A∨BM0 iff Am0 & BM0

在F.D.E.是logical truth寫成: ⊧ FDE A=df (M)(AM1)

在F.D.E.是l;ogical cosequece寫成:∑⊧ FDE A=df(M)((B)(B∊∑⊃BM1)⊃AM1), 也就是{<∑,A>|∑⊧A }。

親愛的讀者, 我還沒寫完。